Carlo Ubertone e Nino Martino

Carlo Ubertone e Nino Martino

Dalla proprietà della proporzionalità di g rispetto all’inverso del quadrato della distanza discende il teorema di Gauss. In questa prima parte si definisce il flusso di un vettore attraverso una superficie piana con il relativo formalismo

Il teorema di Gauss per il campo gravitazionale dice che:

$$\varPhi(\vec{g})=-4\pi GM$$

Il flusso del campo gravitazionale \(\vec{g}\) attraverso una superficie chiusa che contiene la massa M è dato da \(-4\pi GM\). Chiaro vero?

Innanzitutto bisognerebbe capire cos’è il flusso di un vettore, e poi al di là della sua semplicità simbolica ( e un tocco di eleganza dato dalla lettera greca maiuscola) bisognerebbe capire da dove viene fuori (in termini matematici) e magari capire anche a che cosa serve.

In realtà è un problema del tutto generale.
Le leggi fisiche sono scritte in termini simbolici e con un formalismo che è quello matematico. Una sorta di linguaggio. Si parte dalla realtà fisica e si procede via via a un’astrazione crescente. La formulazione matematica contiene in sé  le conseguenze logiche delle proprietà tutte di partenza. Questo permette poi di pensare a situazioni assai diverse tra loro ma che hanno in comune le stesse proprietà di partenza. Si riesce a prevedere attraverso l’astrazione il formalismo matematico cose a prima vista strane, inconsuete. Ma poiché queste “cose strane” sono delle conseguenze logiche delle proprietà di partenza esse sono veritiere, nel senso che sono verificabili sperimentalmente. Ovviamente se le premesse di partenza hanno un fondamento sperimentale corretto.

La matematica, il formalismo matematico, di per sé non dice nulla sul contenuto di verità. Dice solo che date certe premesse, date certe relazioni allora ci si può aspettare che … ecc.

Vedrete che con il teorema di Gauss si possono calcolare campi gravitazionali anche in situazioni apparentemente anomale, anche con più masse, o con distribuzioni di massa anomale.

Questo è il senso generale della matematica. Tra l’altro il teorema di Gauss è un teorema ricavato, dimostrato, in base a proprietà di un campo vettoriale qualunque. Non gli interessa che il campo vettoriale sia di forze, velocità o elettrico, o quant’altro.
Non gli interessano gli oggetti, ma le proprietà degli oggetti.

Quindi il teorema di gauss che qui ricaviamo in maniera rudimentale (non abbiamo tra le mani il formalismo matematico degli integrali!) partendo dal campo gravitazionale, varrà per tutti i campi vettoriali con le stesse caratteristiche del campo gravitazionale. Per esempio per il campo elettrico \(\vec{E}\). E nel caso del campo elettrico le conseguenze saranno assai importanti. Diverse cose vengono fuori dalle proprietà formali del campo elettrico.

Il teorema di gauss per il campo elettrico sarà una delle quattro equazioni di Maxwell, quelle quattro equazioni che descrivono tutto l’elettromagnetismo  (più la forza di Lorentz).

Ricominciamo, dunque, con calma  introducendo innanzitutto la definizione di flusso di un vettore.

Flusso di un vettore, analogia idrodinamica e flusso dell’acqua in un tubo

 Prendiamo un tubo cilindrico e dell’acqua che scorre omogeneamente dentro di esso. Ad ogni punto dell’interno del tubo possiamo associare un vettore velocità \(\vec{v}\). Rappresenta la velocità di una porzione di acqua, anche di una molecola.Il campo vettoriale è uniforme. In tutti i punti ha la stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo. Questo vale nella nostra schematizzazione. Nella realtà fisica questo è impossibile, l’acqua è un fluido viscoso, nella realtà. C’è l’attrito con le pareti. La velocità dell’acqua in prossimità delle pareti diventa diversa da quella al centro del tubo.

La superficie S è perpendicolare al flusso dell’acqua (inizialmente, poi vedremo cosa succede se la superficie S è inclinata rispetto al flusso dell’acqua). Se il modulo della velocità è v, nel tempo t transita attraverso la superficie S la quantità d’acqua contenuta nel cilindro che ha per base S e per altezza vt.

Quindi il flusso attraverso la superficie S lo posso scrivere così: $$\varPhi_{S}(\vec{v})=Svt$$

In realtà io sono interessato al flusso nell’unità di tempo. Mi può dare un’idea di quanto veloce sia il passaggio dell’acqua. Allora dividendo il secondo membro per t ottengo:

$$\varPhi_{S}(\vec{v})=Sv$$

Dove questa volta al simbolo\( \varPhi_{S}(\vec{v}\)corrisponde il flusso unitario (rispetto al tempo) del vettore \(\vec{v}\)

Non sto facendo altro che costruire passo passo il formalismo che poi mi servirà per il teorema di Gauss. Questo è un altro processo tipico della formalizzazione in simboli matematici.

Se adesso inclino di un angolo α la superficie piana S rispetto alla direzione dell’acqua nel tubo come in figura., quanto sarà il mio flusso unitario del vettore  \(\vec{v}\) attraverso la superficie S?

La superficie utile (utile per il passaggio dell’acqua attraverso) è diventata adesso \(S\cos\alpha\). Pensate solo a questo: il flusso attraverso è max quando la superficie è perpendicolare alla direzione della velocità dell’acqua, ma è zero quando la superficie è parallela alla direzione della velocità dell’acqua (non c’è acqua che ci passi attraverso). Quindi il mio flusso per unità di tempo è diventato:

$$\varPhi_{S}(\vec{v})=Sv\cos\alpha$$

Adesso operiamo un piccolo cambio di formulazione simbolica: ricordiamoci che il prodotto scalare fra due vettori è:

$$\vec{A}\cdot\vec{B}=AB\cos\alpha$$
Poiché questo prodotto scalare ricorda quanto abbiamo scritto per il flusso, sarebbe bello poter esprimere il membro a destra del nostro flusso come un prodotto scalare. L’andamento è rigorosamente lo stesso. Ora la velocità è un vettore ma la superficie S no.

L’idea potrebbe essere di dare un carattere vettoriale alla superficie, seguendo due strade possibili.

Introdurre il versore \(\vec{n}\). Il versore \(\vec{n}\) è caratterizzato dal fatto che \(\left|\vec{n}\right|=1\), che la sua direzione è una retta perpendicolare alla superficie nel punto in cui è applicato. Il suo verso per il momento viene lasciato arbitrario, ma nel nostro caso viene scelto concorde al verso del campo di velocità \(\vec{v}\). È il versore della normale alla superficie nel punto considerato.

Introdurre il carattere vettoriale nella superficie stessa, come fanno d’altra parte alcuni testi. Allora definiamo \(\vec{S}\) come un vettore tale che \(\left|\vec{S}\right|=S\), con direzione perpendioclare alla superficie nel punto considerato e con un verso per il momento arbitrario ma nel nostro caso scelto concorde al verso del campo di velocità

Poi nel caso di una superficie curva il verso sarà scelto in modo che punti fuori della superficie curva.

Tutte e due le strade sono legittime. Osservate che di nuovo stiamo costruendo un simbolismo formale che descriva la situazione.

Tutte e due le strade sono legittime, da un punto di vista formale. Allora la formula del flusso di \(\vec{v}\) attraverso la superficie S inclinata rispetto alla direzione di \(\vec{v}\) di α gradi diventa:

$$\varPhi_{S}(\vec{v})=\vec{S}\cdot\vec{v}$$

oppure

$$\varPhi_{S}(\vec{v})=\vec{n}\cdot\vec{v}S$$

In base alle definizioni il prodotto scalare nei due casi ovviamente è lo stesso:

$$\varPhi_{S}(\vec{v})=Sv\cos\alpha$$

Definizione di flusso attraverso una superficie piana

Possiamo ora generalizzare l’analogia idrodinamica ad un campo vettoriale qualunque. Non avevamo detto che la matematica studia le relazioni fra gli oggetti e le loro proprietà indipendentemente dagli oggetti?
Sia \(\vec{A}\) un campo vettoriale uniforme qualunque e sia S una suoerficie piana qualunque presa nel campo vettoriale. Definiremo flusso del vettore \(\vec{A}\) attraverso la superficie piana S lo scalare dato dalla formula: $$\varPhi_{S}(\vec{A})=\vec{A}\cdot\vec{n}S$$

Da notare che in questo caso non c’è un passaggio reale di qualche cosa attraverso la superficie S, è semplicemente una definizione matematica, è l’introduzione di una terminologia simbolica che ci sarà utile in seguito.

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