spesso fenomeni che sembrano diversi hanno la stessa spiegazione, ma a volte fenomeni che sembrano uguali possono avere spiegazioni diverse. E’ la vita….

Naturalmente siamo rimasti sorpresi noi. Dalle nostre credenze, non basate sui fatti sperimentali ma su questioni di leggi “ben apprese”, le due palline sarebbero dovute scendere con la stessa accelerazione. Quando le facciamo cadere verticalmente cadono insieme, la forza d’attrito è la stessa e dunque cadono insieme (ma è poi vero? In realtà no).
Incuriositi, e non potendo negare la evidenza sperimentale – che ci avrebbe messo nei guai con gli studenti – abbiamo fatto una cosa analoga con due carrelli su un piano inclinato, uno dei due è appesantito da una massa in più. L’effetto è stato simile al precedente: il carrello più pesante, messo davanti al carrello più leggero, nella discesa ha distanziato in maniera visibile e non equivocabile il carrello più leggero. Di nuovo la cosa sarebbe sembrata normale agli studenti (in effetti è normale: succede così nella realtà, ma abbiamo problemi con la teoria?)

Carrellini e palline

Evidentemente dobbiamo spiegare quello che succede. Il fenomeno appare lo stesso (ma vedremo poi che in realtà sono due effetti diversi).

Cerchiamo di capire prima il moto delle due palline. Le due palline hanno un momento di inerzia differente, ma questo non influisce sulla diversità del moto.

Infatti se scriviamo il principio di conservazione dell’energia correttamente, per entrambe le palline la massa non influisce sul moto, infatti si avrà

$$mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I_s\omega^2+\mu_v N\frac{d}{R}$$

dove $h$ è l’altezza da cui viene rilasciata la pallina e $d$ la distanza percorsa (vedasi l’approfondimento sull’attrito volvente per alcuni dettagli ). Naturalmente $h$ e $d$ sono collegate dalla relazione

$$h=d\sin\theta$$

dove $\theta$ è l’angolo di inclinazione della guida. Si ha quindi

$$mgd\sin\theta = \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{5}mv^2+\mu_v mg \cos\theta \frac{d}{R}$$

e quindi la massa sparisce dalle equazioni. Tuttavia il termine dovuto al lavoro della forza di attrito dipende da $\mu_v$ che è diverso nel caso della pallina di legno e di quella di ferro.

 La differenza del moto è data quindi  dai due coefficienti di attrito diversi.

nota sperimentale: l’effetto si potrebbe verificare sperimentalmente costruendo due palline dello stesso materiale in superficie ma riempite con materiale diverso. Per esempio due palline di plastica riempite con materiale di diversa massa. A questo punto le palline hanno lo stesso coefficiente di attrito ma masse diverse. Dovrebbero scendere nello stesso modo e l’effetto di prima dovrebbe sparire. Da far fare agli studenti. E questa sarebbe la controprova sperimentale di quanto detto e nello stesso tempo spiazzante. Confermerebbe che l’aspetto importante del fenomeno non è la massa, ma l’attrito.

Adesso passiamo al moto dei carrellini. Qui la differenza dei due moti ha motivazioni diverse.

Il principio di conservazione dell’energia si scrive

$$mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I_r \omega^2+N\mu_r \frac{d}{r}$$

dove $I_r$ è il momento di inerzia delle ruote e naturalmente $v=\omega r$, dove $r$ è il raggio delle ruote. Esplicitando l’attrito volvente che dipende dalla massa $m$ del carrello e dividendo tutto per $m$ rimane un termine dipendente dal momento d’inerzia delle ruote, che non è proporzionale alla massa total $m$ del carrello.

Derivando rispetto al tempo l’equazione di conservazione dell’energia, come nel caso delle palline si ottiene l’accelerazione del carrello

$$a = g\frac{\sin\theta-\cos\theta \frac{\mu_r}{r}}{1+\frac{I_r}{mr^2}}$$

Per il carrello di massa maggiore l’accelerazione sarà quindi maggiore.

C’è una possibilità di confermare la validità di questo. Se usiamo una rotaia a cuscino d’aria non abbiamo il problema del momento di inerzia delle ruote del carrellino. Nell’esperimento eseguito il carrello senza ruote ha lo stesso moto sia quando è “vuoto”, sia quando è caricato di $200 gr$

L’effetto dell’attrito con l’aria (offerto dalla particolare disposizione “a vela” costruita per il sensore di movimento) praticamente non esiste per le piccole velocità (non è necessario dare grandi velocità sulla rotaia a cuscino d’aria). In questo caso avevamo la possibilità di verificare direttamente quello che avevamo visto con le formule, a differenza del caso delle palline rotolanti.

Quindi tra le altre cose, oltre ad utile esercizio di mix di esperimenti e teoria, abbiamo visto che due fenomeni apparentemente simili possono poi avere spiegazioni diverse, che non è cosa banale. Mentre in genere siamo abituati a fenomeni che sembrano diversi e che invece hanno spiegazione comune (vedi l’esempio riportato in altra pagina del cannone elettromagnetico e del magnete che scende lungo un tubo di rame)

Piccola aggiunta.

Di striscio abbiamo detto che non è vero che una pallina di acciaio e una pallina di legno di eguale volume cadono con la stessa accelerazione e velocità finale.

Spesso lo si dice, in classe: se l’attrito è lo stesso le due palline cadono nello stesso modo (sentito dire). Che sembra uguale, ma non è, alla frase senza attrito le due palline cadono nello stesso modo.

L’attrito è lo stesso ma le masse sono diverse e se uno va a vedere le formule si vede subito che l’attrito risulta diviso la massa. Infatti:

$$ma = mg-F_a$$

e quindi

$$a = g-\frac{F_a}{m}$$

 L’accelerazione è maggiore per la pallina più pesante.

Un commento di Elio Fabri:
Non mi piace la forma dogmatica della distinzione fra energia cinetica del centro di massa ed en. cin. di rotazione (odio il termine “rotazionale”).
Direi invece: l’en. cin. di un corpo è la somma delle en. cin. di tutte le sue parti. Se queste hanno tutte la stessa velocità, no problem: avremo $\frac{Mv^2}{2}$ con $M$ massa totale.
Se però le velocità variano da punto a punto del corpo, la faccenda si complica…
Passando per un momento all’esempio della ruota di bicicletta, non mi pare utile tirare in ballo la dinamo, anche perché ben poca dell’energia “mangiata” dalla dinamo va davvero ad accendere la lampadina: basta provare con dinamo attaccata alla ruota e filo staccato, per vedere che la ruota si ferma più o meno nello stesso tempo.
Invece osserverei che la parte dominante della massa della ruota sta nel cerchione, copertone, camera d’aria. E queste parti della ruota hanno tutte circa la stessa velocità (come vettore la vel. varia da punto a punto della periferia della ruota, ma nel calcolo dell’en. cin. conta $v^2$).
Quindi per l’en. cin. della ruota vale ancora $\frac{Mv^2}{2}$.
E’ solo per un disco o una pallina che rotola, che le cose si complicano. A questo punto citerei il fondamentale teorema (che è appunto teorema, mentre come la mettete voi sembra una specie di legge fisica indip.) noto col nome di Steiner o di König:
<<L’en. cin. di un qualsiasi sistema materiale è sempre pari alla somma dell’en. cin. di un punto materiale avente la massa totale del sistema e velocità pari a quella del cdm, più l’en. cin. del sistema nel moto relativo al cdm”.>>
Per il caso di un corpo rigido, questa diventa l’espressione che viene data: $K_{cdm}+K_r$ dove $K_r$, essendo il corpo rigido, è relativa a un puro moto rotatorio.