Energia potenziale e funzione potenziale nel campo gravitazionale

Carlo Ubertone e Nino Martino

Dalla proprietà di radiaità del campo gravitazionale discende la possibilità di definire una funzione potenziale.Il campo gravitazionale è un campo conservativo.

Mettiamoci in una situazione semplice, la più semplice possibile. Poi avremo tempo di complicarla.  Campo gravitazionale terrestre vicino alla superficie terrestre. Il campo gravitazionale $\overrightarrow{g}$ Prendiamo una massa m e portiamola dal punto A al punto B in verticale.

Poichè ci stiamo spostando di poco rispetto alla superficie terrestre il campo $\overrightarrow{g}$ ha il modulo costante. La forza appicata alla massa gravitazionale è $m\overrightarrow{g}$ sia in A che in B è la stessa, ed è la stessa lungo tutta la linea verticale che va da A a B. Vado dall’altezza h₁ all’altezza h₂. Quindi il mio spostamento è in modulo $h_2-h_1$. Il lavoro fatto per portare la massa m da A a B è dunque:
$$L=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{S}=FS\cos \alpha =-mg(h_2-h_1)$$

Il segno meno è dovuto al fatto che il vettore $\overrightarrow{F}$ e il vettore $\overrightarrow{S}$ hanno la stessa direzione ma verso opposto e il coseno di 180° è -1.
Ricorriamo sempre al significato fisico per capire. Il formalismo matematico serve a esprimere simbolicamente una serie di relazioni nella realtà. Il lavoro risulta negativo perché IO sto fornendo energia al corpo e quindi IO perdo energia.
Il corpo di massa m ovviamente acquista un’energia positiva pari all’energia che io gli ho fornito.

Domanda: Mi sono messo in un’approssimazione: in questa formula il vettore $\overrightarrow{g}$ ha modulo costante e direzione e verso come in figura. Mail modulo si può veramente considerare costante? Provate dunque a calcolare il modulo di   $\overrightarrow{g}$ all’altezza del suolo (h₁=0) e poi il modulo di $\overrightarrow{g}$ all’altezza di … 100m.  D iquanto è variato il modulo?  Nota bene: questi calcoli vu servono a capire la reale dimensioni delle cose e delle approssimazioni che noi facciamo. C’è la possibilità di essere precisi, usando l’analisi matematica e gli integrali ( che voi ancora non avete fatto nel corso di matematica). Perché il modulo di $\overrightarrow{g}$ è una funzione dell’altezza e si integra in dh (oscuro vero? Il prossimo anno sarà chiaro).

Fin qui tutto bene. Ma quanto vale il lavoro che io faccio lungo la traiettoria (\gamma_2)? O lungo la traiettoria (\gamma_3)?

Apparentemente i lavori fatti sono diversi, perché diverso è il cammino, ovvero il modo con cui fornisco energia al corpo. Ma se sono diversi sono nei guai:  Avrei come risultato un’energia potenziale diversa all’altezza h a secondo del cammino che faccio percorrere alla massa m.

Allora non avrei più un’energia potenziale funzione della sola altezza  ma sarebbe una funzione dell’altezza e della curva $\gamma$ percorsa.

Ovvero non sarebbe più
$$W=f\left(h\right)$$

ma sarebbe

$$W=f(h,\gamma )$$
Ma cosa dice la formula che avete imparato praticamente a memoria, in altri tempi?
$$W=mgh=f\left(h\right)$$

Perchè m è costante e il modulo di $\overrightarrow{g}$ è costante.

Cioè avevamo definito, a meno di una costante addittiva, un’energia potenziale che dipendeva solo dall’altezza h.
Com’è possibile?
Abbiamo commesso un errore? O cos’altro?

Guardate la figura:

Andiamo da A a B lungo la curva ${\gamma }_2$ della figura precedente. Non posso più parlare in modo semplice del lavoro totale fatto,  perché è vero che il campo vettoriale $\overrightarrow{g}$ è un campo uniforme (nella nostra approssimazione, s’intende) , ma lo spostamento $\overrightarrow{s}$  è lungo una curva qualsiasi, tangente alla curva, e varia da punto a punto.

Ricorro allora al trucco degli infinitesimi. Un infinitesimo è un numero più piccolo di ogni numero piccolo a piacere, ma non zero.
Scompongo dunque la curva in tanti (infiniti) tratti infinitesimi rettilinei.
La curva ${\gamma }_2$ sarà allora la somma infinita di tutti i tratti rettilinei infinitesimi.
Se no posso parlare subito di lavoro totale però posso definire il lavoro infinitesimo fatto per spostare la massa m di uno spostamento infinitesimo $\overrightarrow{ds}$ nel campo gravitazionale uniforme $\overrightarrow{g}$:

$dL=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{ds}$

$dL=m\overrightarrow{g}\cdot \overrightarrow{ds}$

Ma posso pensare il vettore spostamento infinitesimo scomposto in due vettori: uno parallelo a $\overrightarrow{g}$ e laltro perpendicolare a $\overrightarrow{g}$: $$m\overrightarrow{g}\cdot \overrightarrow{ds}=m\overrightarrow{g}\cdot {\overrightarrow{ds}}_v+m\overrightarrow{g}\cdot {\overrightarrow{ds}}_o$$

dove $\overrightarrow{d{s}_o}=\overrightarrow{d{s}_{perpendicolare}}$ e $\overrightarrow{d{s}_v}=\overrightarrow{d{s}_{parallelo}}$

ma
$$m\overrightarrow{g}\cdot {\overrightarrow{ds}}_o=0$$

perché i due vettori sono perpendicolari fra loro, quindi nel prodotto scalare il coseno di 90° è zero.

allora rimane solamente: $$m\overrightarrow{g}\cdot {\overrightarrow{ds}}_v$$ che diventa, facendo il prodotto scalare e ricordando che questa volta il coseno di 180° è -1:

_{$$dL=-mgd{s}_{parallelo}$$}

Faccio adesso la somma infinita di tutti i lavori infinitesimi:

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}d{L}_i=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}mgd{s}_{i_v}$$

Ma g è costante (il campo è uniforme nella ipotesi che abbiamo fatto di essere vicini alla superficie terrestre) e quindi possiamo portare fuori dal simbolo di sommatoriamg (è il termine in comune a tutti i termini della sommatoria.

Quindi:

$$L=mg\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}d{s}_{i_v}=mg(h_2-h_1)$$

perché la somma di tutti gli spostamenti infinitesimi paralleli al vettore $vecg$ non è altro che la differenza fra h₂ e h₁.

Cosa abbiamo ottenuto? Abbiamo ottenuto che il lavoro fatto per andare da A a B NON dipende dal percorso, ma solo dalle altezze dei punti A e B..

Cerchiamo di capire il punto chiave della dimostrazione.
Il punto chiave sta nel fatto che il campo vettoriale $vecg$ è un campo radiale. Nel caso specifico il centro è all’infinito, ma il conto varrebbe lo stesso se si pensasse al campo gravitazionale radiale generato dalla massa M della terra concentrata nel suo centro di massa.

Ci sarebbe la complicazione che il campo vettoriale non sarebbe più uniforme. Ci vorrebbero questa volta i cosiddetti integrali che voi ancora non conoscete, ma alla fine il risultato sarebbe lo stesso.
Se il campo non fosse stato radiale non potevo dire che il termine del prodotto della forza per lo spostamento infinitesimo perpendicolare alla traiettoria era zero.

In un campo di forze vettoriale radiale il lavoro per andare da un punto a un punto B lungo una qualunque traiettoria NON dipende dalla traiettoria ma SOLO dal punto iniziale e dal punto finale.

Questo vuol dire che L’energia fornita a un corpo di massa m è sempre la stessa indipendentemente dalla traiettoria –> L’energia potenziale del punto B è sempre la stessa.In questo caso posso definire un’energia potenziale gravitazionale univoca che dipende SOLO dall’altezza h.

Generalizziamo:

In un qualunque campo di forze radiale è possibile definire in modo univoco un’energia potenziale e una funzione potenziale.

Un’altra possibile definizione assolutamente equivalente è questa:

Il lavoro fatto lungo una linea chiusa in un campo di forze radiale è zero. Il campo di forze si dice allora conservativo

Un campo di forze è conservativo quando il lavoro fatto per andare da un punto allo stesso punto lungo una curva chiusa è zero.

In un campo di forze conservativo è possibile definire una funzione potenziale e un’energia potenziale che siano funzione univoca della sola posizione. (a meno di una costante additiva, che nei conti delle differenze sparisce).

• la gravitazione – introduzione
• la forza di gravità
• le tre leggi di keplero
• proprietà del campo vettoriale gravitazionale
• energia potenziale e funzione potenziale nel campo gravitazionale.
• energia potenziale e funzione potenziale, forza gravitazionale e campo gravitazionale
• teorema di gauss per il campo gravitazionale – parte prima
• teorema di gauss per il campo gravitazionale – parte seconda
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